Si vous étiez de ces élèves pour qui les mathématiques, la géométrie et la trigonométrie étaient un véritable casse-tête, force est de constater que, dans plusieurs situations de la vie quotidienne, certaines formules de base vous seraient bien utiles. La bonne nouvelle, c’est qu’il n’est jamais trop tard pour revoir et réapprendre certaines notions. Cet article va raviver vos souvenirs : comment calculer l’aire d’un triangle ?

Comment calculer l’aire d’un triangle ?

L’aire du triangle correspond à la surface de l’élément et, pour la calculer, il suffit d’appliquer une formule mathématique. La formule à utiliser, valable pour tout type de triangle, est celle-ci : aire d’un triangle = (base × hauteur) ÷ 2, soit A = (B × h) ÷ 2, où :

  • La base B est la longueur d’un des côtés du triangle.
  • La hauteur h correspond à la longueur d’un segment qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire à la base choisie.

L’unité de mesure de l’aire correspond à l’unité de mesure de la base et de la hauteur. Ainsi, si la base et la hauteur sont mesurées en cm, l’aire aura une unité en cm². Pour pouvoir appliquer cette formule, vous avez simplement besoin d’une règle pour mesurer les longueurs nécessaires.

Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?

Un triangle rectangle a la particularité d’avoir un angle droit, à 90 degrés. On peut donc en déduire qu’un rectangle est composé de deux triangles rectangles, divisés par une diagonale commune. Pour calculer l’aire d’un triangle rectangle, nous avons donc deux possibilités :

  • On peut soit appliquer la formule indiquée au point précédent : aire d’un triangle rectangle = (Base × hauteur) ÷ 2 soit A = (B × h) ÷ 2
  • Soit diviser le résultat de l’aire d’un rectangle en deux, comme suit : aire d’un triangle = (L*l) ÷ 2, où :
    • L est la longueur du rectangle correspondant.
    • l et la largeur du rectangle.

Comment calculer l’aire d’un triangle sans savoir la hauteur ?

Il est tout à fait possible de calculer l’aire d’un triangle quelconque sans pour autant connaître la hauteur. Pour cela, il existe deux possibilités :

La formule de Héron

La formule à appliquer est dans cette situation la suivante : aire d’un triangle = √[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)], où :

  • a, b et c sont les côtés du triangle.
  • p est le demi-périmètre du triangle : p = P/2.
  • P, qui est le périmètre du triangle, correspond à la somme des longueurs des trois côtés : P = a + b + c.

La loi des sinus

Pour appliquer la loi des sinus, il faut connaître la longueur d’un côté et la mesure de deux angles adjacents. La formule à appliquer est alors : aire d’un triangle = a2*sin(β)*sin(γ)/[2*sin (β + γ)], où :

  • a est l’un des côtés du triangle.
  • β et γ sont les angles adjacents au côté a.

Comment définir un triangle ?

Un triangle est une forme géométrique qui possède trois côtés, trois angles et trois sommets. Les différents types de triangles qui existent sont :

  • Les triangles scalènes ou quelconques, qui présentent trois côtés de longueurs différentes et n’ont pas d’angle droit. Les mesures des angles et des côtés de ceux-ci ne possèdent aucune caractéristique commune.
  • Les triangles isocèles, qui ont deux côtés égaux. Deux des angles sont égaux, ce qui fait du celui-ci un triangle isoangle.
  • Les triangles équilatéraux, qui possèdent trois côtés et trois angles égaux. Les triangles équilatéraux sont donc, par définition, également équiangles.
  • Les triangles rectangles, qui ont un angle droit et qui peuvent n’avoir aucun ou deux côtés égaux.

Quelles sont les principales propriétés des triangles ?

Voici quelques règles qui sont caractéristiques des triangles :

  • Le côté le plus long du triangle est toujours opposé à l’angle le plus ample. L’inverse est également valable : le côté le plus petit est opposé à l’angle le plus fermé.
  • La somme des angles intérieurs d’un triangle est toujours égale à 180º. Grâce à cette règle, il vous est donc possible de calculer la mesure du troisième angle si cette information est manquante.
  • Un triangle est désigné comme obtusangle s’il possède un angle obtus, c’est-à-dire supérieur à 90º.
  • Un triangle est désigné comme acutangle s’il est formé de trois angles aigus, c’est-à-dire inférieurs à 90º.

Quels sont les noms des côtés d’un triangle rectangle ?

Le triangle rectangle est le seul à qui sont donnés des noms bien précis à ses côtés :

  • Le côté opposé à l’angle droit se nomme l’hypoténuse.
  • Les deux autres côtés sont les cathètes.

Grâce au théorème de Pythagore, qui donne une relation entre les longueurs des trois côtés du triangle rectangle, il vous est possible de trouver la mesure d’un côté manquant, comme suit : (une cathète)2 + (l’autre cathète)2 = (l’hypoténuse) 2 ou encore a2 +b2 = c²

Comment dessiner un triangle ?

En fonction des informations dont vous disposez par rapport au triangle à dessiner, vous pourrez opter pour l’une de trois méthodes pour le dessiner. Vous aurez besoin de ce matériel : une feuille, un crayon, une règle, un compas et un rapporteur d’angle selon les cas.

Si vous connaissez les longueurs des 3 côtés du triangle

  • Tracez un segment de droite qui sera un côté du triangle.
  • Réglez l’ouverture du compas d’une ouverture correspondante à la longueur d’un autre côté, puis placez la pointe du compas sur une extrémité du segment et dessinez un cercle de rayon correspondant.
  • Répétez l’opération précédente pour le troisième côté.
  • Fermez le triangle en traçant deux segments qui commencent à chaque extrémité du premier segment et se terminent au point d’intersection des deux cercles.

Si vous connaissez la longueur d’un côté et la mesure des 2 angles situés à ses extrémités

  • Tracez un segment de droite qui sera un côté du triangle.
  • Avec un rapporteur, dessinez une ligne qui part d’une des extrémités du segment antérieur et qui correspond à l’un des angles connus.
  • Répétez l’opération précédente sur la deuxième extrémité du segment.
  • Fermez le triangle en traçant deux segments qui commencent à chaque extrémité du premier segment et se terminent au point d’intersection des lignes formées par les deux angles.

Si vous connaissez la mesure d’un angle et la longueur des 2 côtés qui le forment

  • Tracez un segment de droite qui sera un côté du triangle.
  • Avec un rapporteur, dessinez une ligne qui part d’une des extrémités du segment antérieur et qui correspond à l’un des angles connus.
  • Sur la ligne obtenue au point précédent, identifiez le point qui correspond à la longueur du deuxième côté du triangle.
  • Fermez le triangle en unissant les extrémités du premier et du deuxième segment.

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